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组合

教学目标
(1)使学生正确理解的意义,正确区分排列、问题;
(2)使学生掌握数的计算公式、数的性质用数与排列数之间的关系;
(3)通过学习知识,让学生掌握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;
(4)通过对排列、问题求解与剖析,培养学生学习兴趣和思维深刻性,学生具有严谨的学习态度。


教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是的定义、数及数的公式,数的性质。难点是解的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用,并将这两个原理的基本思想贯穿在解决应用题当中。

与数,也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个。所有这些不同的的个数叫做数。从集合的角度看,从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合(无序集),相当于一个,而这种集合的个数,就是相应的数。

解排列应用题时主要应抓住是排列问题还是问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步.切记:排组分清(有序排列、无序),加乘明确(分类为加、分步为乘).

三、教法设计

1.对于基础较好的学生,建议把排列与的概念进行对比的进行学习,这样有利于搞请这两组概念的区别与联系.

2.学生与老师可以合编一些排列问题,如“45人中选出5人当班干部有多少种选法?”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题,同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题,教师要引导学生辨认哪个是排列问题,哪个是问题.这样既调动了学生学习的积极性,又在编题辨题中澄清了概念.

为了理解排列与的概念,建议大家学会画排列与的树图.如,从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与树图分别为:

排列树图

 

 

 

 

由排列树图得到,从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个,它们分别是:abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

树图

由树图可得,从a,b,c,d中取出3个元素的有4个,它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).

从以上两组树图清楚的告诉我们,排列树图是对称的,图式不是对称的,之所以排列树图具有对称性,是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会,哪一个都有在第二位的机会,哪一个都有在第三位的机会,而只考虑字母不考虑顺序,为实现无顺序的要求,我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后,固定了死顺序等于无顺序,这样就有了自己的树图.

学会画树图,不仅有利于理解排列与的概念,还有助于推导数的计算公式.

3.排列的应用问题,教师应从简单问题问题入手,逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或问题,最后在设及排列与的综合问题.

对于每一道题目,教师必须先让学生独立思考,在进行全班讨论,对于学生的每一种解法,教师要先让学生判断正误,在给予点播.对于排列、应用问题的解决我们提倡一题多解,这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力,在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案,总结解题规律.对于学生解题中的常见错误,教师一定要讲明道理,认真分析错误原因,使学生在是非的判断得以提高.

4.两个性质定理教学时,对定理1,可以用下例来说明:从4个不同的元素abcd里每次取出3个元素的及每次取出1个元素的分别是

这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的与从4个元素里每次取出1个元素的是—一对应的.

对定理2,可启发学生从下面问题的讨论得出.从n个不同元素 ,…, 里每次取出m个不同的元素( ),问:(1)可以组成多少个;(2)在这些里,有多少个是不含有 的; (3)在这些里,有多少个是含有 的;(4)从上面的结果,可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2.

对于 ,和 一样,是一种规定.而学生常常误以为是推算出来的,因此,教学时要讲清楚.

 

 

教学设计示例

教学目标

(1)使学生正确理解的意义,正确区分排列、问题;

(2)使学生掌握数的计算公式;

(3)通过学习知识,让学生掌握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;

教学重点难点

重点是的定义、数及数的公式;

难点是解的应用题.

教学过程设计

(-)导入  新课

教师活动)提出下列思考问题,打出字幕.

[字幕]一条铁路线上有6个火车站,(1)需准备多少种不同的普通客车票?(2)有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中,哪一问是排列问题?哪一问是问题?

(学生活动)讨论并回答.

答案提示:(1)排列;(2).

[评述]问题(1)是从6个火车站中任选两个,并按一定的顺序排列,要求出排法的种数,属于排列问题;(2)是从6个火车站中任选两个并成一组,两站无顺序关系,要求出不同的组数,属于问题.这节课着重研究问题.

设计意图:与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.

(二)新课讲授

[提出问题 创设情境]

教师活动)指导学生带着问题阅读课文.

[字幕]1.排列的定义是什么?

2.举例说明一个是什么?

3.一个与一个排列有何区别?

(学生活动)阅读回答.

教师活动)对照课文,逐一评析.

设计意图:激活学生的思维,使其将所学的知识迁移过渡,并尽快适应新的环境.

【归纳概括  建立新知】

教师活动)承接上述问题的回答,展示下面知识.

[字幕]模型:从 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个.如前面思考题:6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票,是从6个元素中取出2个元素的一个.

数:从 个不同元素中取出 个元素的所有的个数,称之,用符号 表示,如从6个元素中取出2个元素的数为 .

[评述]区分一个排列与一个的关键是:该问题是否与顺序有关,当取出元素后,若改变一下顺序,就得到一种新的取法,则是排列问题;若改变顺序,仍得原来的取法,就是问题.

(学生活动)倾听、思索、记录.

教师活动)提出思考问题.

[投影] 的关系如何?

(师生活动)共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ,可分为以下两步:

第1步,先求出从这 个不同元素中取出 个元素的数为

第2步,求每一个中 个元素的全排列数为 .

根据分步计数原理,得到

[字幕]公式1:

公式2:

(学生活动)验算 ,即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票.

设计意图:本着以认识概念为起点,以问题为主线,以培养能力为核心的宗旨,逐步展示知识的形成过程,使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去.

【例题示范  探求方法】

教师活动)打出字幕,给出示范,指导训练.

[字幕]例1  列举从4个元素 中任取2个元素的所有.

例2  计算:(1) ;(2) .

(学生活动)板演、示范.

教师活动)讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题.

[字幕]例3  已知 ,求 的所有值.

(学生活动)思考分析.

解  首先,根据的定义,有

其次,由原不等式转化为

解得

综合①、②,得 ,即

[点评]这是数公式的应用,关键是公式的选择.

设计意图:例题教学循序渐进,让学生巩固知识,强化公式的应用,从而培养学生的综合分析能力.

【反馈练习  学会应用】

教师活动)给出练习,学生解答,教师点评.

[课堂练习]课本P99练习第2,5,6题.

[补充练习]

[字幕]1.计算:

2.已知 ,求 .

 (学生活动)板演、解答.

设计意图:课堂教学体现以学生为本,让全体学生参与训练,深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用.

【点评矫正  交流提高】

教师活动)依照学生的板演,给予指正并总结.

补充练习答案:

1.解:原式:

2.解:由题设得

整理化简得

解之,得 (因 ,舍去),

所以 ,所求

[字幕]小结:

1.前一个公式主要用于计算具体的数,而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证.

2.在解含数的方程或不等式时,一定要注意数的上、下标的限制条件.

(学生活动)交流讨论,总结记录.

设计意图:由“实践——认识——一实践”的认识论,教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节,使教学目标得以强化和落实.

(三)小结

(师生活动)共同小结.

本节主要内容有

1.概念.

2.数计算的两个公式.

(四)布置作业 

1.课本作业 :习题10 3第1(1)、(4),3题.

2.思考题:某学习小组有8个同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中,男、女同学各有多少人?

3.研究性题:

边上除顶点 外有 5个点,在 边上有 4个点,由这些点(包括 )能组成多少个四边形?能组成多少个三角形?

    (五)课后点评

    在学习了排列知识的基础上,本节课引进了概念,并推导出数公式,同时调控进行训练,从而培养学生分析问题、解决问题的能力.

    作业 参考答案

    2.解;设有男同学 人,则有女同学 人,依题意有 ,由此解得 或2.即男同学有5人或6人,女同学相应为3人或2人.

    3.能组成 (注意不能用 点为顶点)个四边形, 个三角形.

 

 

探究活动

同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,那么四张不同的分配万式可有多少种?

解  设四人分别为甲、乙、丙、丁,可从多种角度来解.

解法一  可将拿贺卡的情况,按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类,即:

甲拿乙制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.

甲拿丙制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.

甲拿丁制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.

由加法原理得,贺卡分配方法有3+3+3=9种.

解法二  可从利用排列数和数公式角度来考虑.这时还存在正向与逆向两种思考途径.

正向思考,即从满足题设条件出发,分步完成分配.先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张,有 种取法,剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张,也有 种,最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡,其取法只有互取对方制作贺卡1种取法.根据乘法原理,贺卡的分配方法有 (种).

逆向思考,即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法.不满足题设条件的取法为,其中只有1人取自己制作的贺卡,其中有2人取自己制作的贺卡,其中有3人取自己制作的贺卡(此时即为4人均拿自己制作的贺卡).其取法分别为   1.故符合题设要求的取法共有 (种).

说明(1)对一类元素不太多而利用排列或计算公式计算比较复杂,且容易重复遗漏计算的排列问题,常可采用直接分类后用加法原理进行计算,如本例采用解法一的做法.

(2)设集合 ,如果S中元素的一个排列 满足 ,则称该排列为S的一个错位排列.本例就属错位排列问题.如将S的所有错位排列数记为 ,则 有如下三个计算公式(李宇襄编著《数学》,北京师范大学出版社出版):

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