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高三数学第一轮复习讲义空间的距离

            高三数学第一轮复习讲义空间的距离一.复习目标:1.理解点到直线的距离的概念,掌握两条直线的距离,点到平面的距离,直线和平面的距离,两平行平面间的距离; 2.掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化.

二.知识要点:1.点到平面的距离:                              .

2.直线到平面的距离:                             .

3.两个平面的距离:                              .

4.异面直线间的距离:                             .

三.课前预习:1.在 中, , 所在平面外一点 到三顶点 的距离都是 ,则 到平面 的距离是                           (   )                                                                        2.在四面体 中, 两两垂直, 是面 内一点, 到三个面 的距离分别是 ,则 到 的距离是               (  )                                                                     3.已知 矩形 所在平面, , ,则 到 的距离为          , 到 的距离为   . 4.已知二面角 为 ,平面 内一点 到平面 的距离为 ,则 到平面 的距离为    .

四.例题分析: 例1.已知二面角 为 ,点 和 分别在平面 和平面 内,点 在棱 上 , ,(1)求证: ;(2)求点 到平面 的距离;(3)设 是线段 上的一点,直线 与平面 所成的角为 ,求 的长 (1)证明:作 于 ,连接 , ∵ , , ∴ ,∴ , 平面 , 平面 , ∴ . 解:(2)作 于 , ∵ 平面 ,∴ , ∴ , 是点 到平面 的距离,由(1)知 , ∴ .∴点 到平面 的距离为 . (2)连接 ,∵ , 与平面 所成的角为 , , , ∴ ,∵ , , 为正三角形, 是 中点,∴ 是 中点,∴ . 小结:求点 到平面 的距离关键是寻找点 到 的垂线段. 3页,当前第1123例2.在直三棱柱 中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱 , 分别是 ,与 的中点,点 在平面 上的射影是 的重心 ,(1)求 与平面 所成角的正弦值;(2)求点 到平面 的距离. 解:建立如图的空间直角坐标系,设 ,则 , , , ,∵ 分别是 ,与 的中点, ∴ ,∵ 是 的重心, ,∴ , ,,∵ 平面 , 得 ,且 与平面 所成角 , ,, , (2) 是 的中点, 到平面 的距离等于 到平面 的距离的两倍, ∵ 平面 , 到平面 的距离等于 .小结:根据线段 和平面 的关系,求点 到平面 的距离可转化为求 到平面 的距离的两倍. 例3.已知正四棱柱 , 点 为 的中点,点 为 的中点,(1)证明: 为异面直线 的公垂线; (2)求点 到平面 的距离. 解:(1)以 分别为 轴建立坐标系, 则 , , , , , , , ∴ , ∴ 为异面直线 的公垂线. (2)设 是平面 的法向量,∵ , ∴ , , , 点 到平面 的距离 . 小结:由平面的法向量能求出点到这个平面的距离.

五.课后作业:                           班级      学号      姓名            1.已知 正方形 所在平面, ,点 到平面 的距离为 , 点 到平面 的距离为 ,则                                                                  (           )                          2.把边长为 的正三角形 沿高线 折成 的二面角,点 到 的距离是(  )                                                     3.四面体 的棱长都是 , 两点分别在棱 上,则 与 的最短距离是(              )                                                   4.已知二面角 为 , 角, ,则 到平面 的距离为                .3页,当前第21235.已知长方体 中, ,那么直线 到平面 的距离是               .6.如图,已知 是边长为 的正方形, 分别是 的中点, , ,(1)求证: ;(2)求点 到面 的距离.

7.在棱长为1的正方体 中, (1)求:点 到平面 的距离;(2)求点 到平面 的距离; (3)求平面 与平面 的距离;(4)求直线 到 的距离.3页,当前第3123